Come ti calcolo le proprietà di un esopianeta, la massa (metodo radiale)

I metodi per l’individuazione degli esopianeti sono sostanzialmente due: il metodo dei transiti, cioè quello analizzato fin qui nelle scorse puntate e usato dal celebre telescopio spaziale Kepler, e il metodo delle velocità radiali, che consiste nell’individuare lievi spostamenti doppler periodici nelle linee spettrali di una stella provocati dalla presenza di uno o più pianeti in orbita.
I vantaggi di questo metodo sono che attraverso il metodo delle velocità radiali è possibile avere una stima molto più precisa delle velocità orbitali, tant’è che è – per ora – l’unico metodo abbastanza affidabile che consente di ottenere una stima della massa di un esopianeta.
Come il precedente, anche questo approccio per trovare la massa di un pianeta extrasolare è legato alla legge fisica chiamata la conservazione della quantità di moto ¹. La legge di conservazione del momento dice che in ogni sistema chiuso (cioè, un sistema in cui le forze esterne sono trascurabili), la quantità di moto totale di tutti gli oggetti del sistema non può cambiare. Pertanto, quando gli oggetti all’interno di un sistema chiuso interagiscono uno con l’altro, la quantità di moto di un singolo oggetto può anche cambiare, ma la quantità di moto totale di tutti gli oggetti all’interno del sistema deve rimanere costante.
Per questo si può scrivere legittimamente la relazione $p_{\bigstar} = p_{p}$ ²,ovvero:

$m_{\bigstar}v_{\bigstar}=m_{p}v_{p}$

Da qui ne consegue che si può scrivere anche:

$m_{p}= \frac{m_{\bigstar}v_{\bigstar}}{v_{p}}$

La massa della stella si ottiene come al solito dalla relazione temperatura/luminosità ricavabile dal diagramma di Hertzsprung-Russell che consente di risalire alla massa della stella ³.
Purtroppo l’equazione qui sopra chiede la velocità orbitale del pianeta mentre attraverso la periodicità dello spostamento spettrale (V. figura in alto) restituisce il periodo orbitale del pianeta $P_{p}$ attorno al centro di massa del sistema. Ma semplificando la Terza legge di Keplero per la Legge di Gravitazione di Newton si può scrivere che:

$P_{p}^2=\frac{a_{p}^3}{M_{\bigstar}}$

dove appunto $a_{p}$ è il semiasse maggiore dell’orbita del pianeta. Assumendo come nel caso scorso che sia un’orbita perfettamente circolare, si può dire anche che $a_{p}$ è uguale al raggio dell’orbita, pertanto la circonferenza orbitale è pari a $a_{p}\cdot 2\pi$ , mentre la velocità orbitale non è altro che questa distanza diviso per il suo periodo $P_{p}$ :

$v_{p}=\frac{2\pi a_{p}}{P_{p}}$

ecco la nostra velocità orbitale del pianeta e di conseguenza la sua massa!

Note:

La quantità di moto di un oggetto (di solito indicata come “ $p$ “) è il prodotto della massa ( $m$ ) per la velocità ( $v$ che possiede), quindi la definizione di equazione di moto è $p = mv$ ↩
È uso comune riferirsi col $p$ (minuscolo) al momento di moto, mentre con la $P$ (maiuscola) ci si riferisce al periodo orbitale. ↩
Vedi la Tabella spettrale estesa della sequenza principale di Morgan-Keenan che ne è una estensione. ↩

Come ti calcolo le proprietà di un esopianeta, la massa (metodo radiale)2 min read

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